微积分学示例

$y = \log (5) {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 1

因为 $\log (5)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\log (5) {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\log (5) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2}}]$ 。

$\log (5) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ 且 $g (x) = 3 x^{2} - 2 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x^{2} - 2 x$ 。

$\log (5) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{2}$ 。

$\log (5) (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

解题步骤 2.3

使用 $3 x^{2} - 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

解题步骤 6.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$\log (5) (\frac{5}{2} {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{5}{2}$ 和 ${(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\log (5) (\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x])$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ 和 $\log (5)$ 。

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x]$

解题步骤 8

根据加法法则， $3 x^{2} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 9

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 11

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 12

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (6 x - 2 \cdot 1)$

解题步骤 14

化简表达式。

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解题步骤 14.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (6 x - 2)$

解题步骤 14.2

重新排序 $\frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2} (6 x - 2)$ 的因式。

$(6 x - 2) \frac{5 {(3 x^{2} - 2 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5)}{2}$

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