微积分学示例

$y = \ln (\sin (2 x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sin (2 x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (2 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 2

将 $\frac{1}{\sin (2 x)}$ 转换成 $\csc (2 x)$ 。

$\csc (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$\csc (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$\csc (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\csc (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\csc (2 x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\csc (2 x) \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\csc (2 x) \cos (2 x) \cdot 2$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 移到 $\csc (2 x) \cos (2 x)$ 的左侧。

$2 \cdot (\csc (2 x) \cos (2 x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新排序 $2 \csc (2 x) \cos (2 x)$ 的因式。

$2 \cos (2 x) \csc (2 x)$

解题步骤 5.2

将 $\csc (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 \cos (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

解题步骤 5.3

乘以 $2 \cos (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$ 。

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解题步骤 5.3.1

组合 $\frac{1}{\sin (2 x)}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{\sin (2 x)} \cos (2 x)$

解题步骤 5.3.2

组合 $\frac{2}{\sin (2 x)}$ 和 $\cos (2 x)$ 。

$\frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

解题步骤 5.4

分离分数。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

解题步骤 5.5

将 $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 转换成 $\cot (2 x)$ 。

$\frac{2}{1} \cot (2 x)$

解题步骤 5.6

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \cot (2 x)$

微积分学 示例

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