微积分学示例

$y = \ln (4 x^{2}) \cdot (- x^{3} - 4)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \ln (4 x^{2})$ 且 $g (x) = - x^{3} - 4$ 。

$\ln (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{3} - 4] + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- x^{3} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\ln (4 x^{2}) (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

解题步骤 2.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

解题步骤 2.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2} + 0) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

解题步骤 2.6

将 $- 3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [\ln (4 x^{2})]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 4 x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x^{2}$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

解题步骤 3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

解题步骤 3.3

使用 $4 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) (\frac{1}{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{1}{4 x^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.2

化简项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4 x^{2}}$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{4}{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.2.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

约去公因数。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{4}{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.2.2.2

重写表达式。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{1}{x^{2}} (2 x)$

解题步骤 4.4

化简项。

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解题步骤 4.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{2}{x^{2}} x$

解题步骤 4.4.2

组合 $x$ 和 $\frac{2}{x^{2}}$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

解题步骤 4.4.3

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{2 \cdot x}{x^{2}}$

解题步骤 4.4.4

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.4.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

解题步骤 4.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.4.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

解题步骤 4.4.4.2.2

约去公因数。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

解题步骤 4.4.4.2.3

重写表达式。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) + (- x^{3} - 4) \frac{2}{x}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - x^{3} \frac{2}{x} - 4 \frac{2}{x}$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $x^{3}$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{2 x^{3}}{x} - 4 \frac{2}{x}$

解题步骤 5.2.2

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{x (2 x^{2})}{x} - 4 \frac{2}{x}$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} - 4 \frac{2}{x}$

解题步骤 5.2.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} - 4 \frac{2}{x}$

解题步骤 5.2.2.2.3

约去公因数。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} - 4 \frac{2}{x}$

解题步骤 5.2.2.2.4

重写表达式。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - \frac{2 x^{2}}{1} - 4 \frac{2}{x}$

解题步骤 5.2.2.2.5

用 $2 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - (2 x^{2}) - 4 \frac{2}{x}$

解题步骤 5.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - 2 x^{2} - 4 \frac{2}{x}$

解题步骤 5.2.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{2}{x}$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - 2 x^{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{x}$

解题步骤 5.2.5

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - 2 x^{2} + \frac{- 8}{x}$

解题步骤 5.2.6

将负号移到分数的前面。

$\ln (4 x^{2}) (- 3 x^{2}) - 2 x^{2} - \frac{8}{x}$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$- 2 x^{2} - 3 x^{2} \ln (4 x^{2}) - \frac{8}{x}$

微积分学 示例

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