微积分学示例

$y = \ln (x^{4} + e)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{4} + e$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4} + e$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + e]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + e]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{4} + e$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{4} + e} \frac{d}{d x} [x^{4} + e]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{4} + e$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [e]$ 。

$\frac{1}{x^{4} + e} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [e])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{x^{4} + e} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [e])$

解题步骤 2.3

因为 $e$ 对于 $x$ 是常数，所以 $e$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x^{4} + e} (4 x^{3} + 0)$

解题步骤 2.4

合并分数。

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解题步骤 2.4.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x^{4} + e} (4 x^{3})$

解题步骤 2.4.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x^{4} + e}$ 。

$\frac{4}{x^{4} + e} x^{3}$

解题步骤 2.4.3

组合 $\frac{4}{x^{4} + e}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + e}$

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