微积分学示例

$y = \ln (10 x^{2 - 5 x})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 10 x^{2 - 5 x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $10 x^{2 - 5 x}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

解题步骤 1.3

使用 $10 x^{2 - 5 x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

解题步骤 2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x^{2 - 5 x}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$ 。

$\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}} (10 \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}])$

解题步骤 2.2

化简项。

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解题步骤 2.2.1

组合 $10$ 和 $\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}}$ 。

$\frac{10}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

解题步骤 2.2.2

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{10}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

解题步骤 2.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

解题步骤 3

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 3.1

将 $x^{2 - 5 x}$ 重写为 $e^{\ln (x^{2 - 5 x})}$ 。

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 - 5 x})}]$

解题步骤 3.2

通过将 $2 - 5 x$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{2 - 5 x})$ 。

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [e^{(2 - 5 x) \ln (x)}]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = (2 - 5 x) \ln (x)$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $(2 - 5 x) \ln (x)$ 。

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

解题步骤 4.3

使用 $(2 - 5 x) \ln (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (e^{(2 - 5 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

解题步骤 5

组合 $e^{(2 - 5 x) \ln (x)}$ 和 $\frac{1}{x^{2 - 5 x}}$ 。

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)]$

解题步骤 6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 2 - 5 x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x])$

解题步骤 7

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x])$

解题步骤 8

求微分。

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解题步骤 8.1

根据加法法则， $2 - 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]))$

解题步骤 8.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]))$

解题步骤 8.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 相加。

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [- 5 x])$

解题步骤 8.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 8.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 5 \cdot 1))$

解题步骤 8.6

化简表达式。

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解题步骤 8.6.1

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot - 5)$

解题步骤 8.6.2

将 $- 5$ 移到 $\ln (x)$ 的左侧。

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} - 5 \cdot \ln (x))$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (2 \frac{1}{x} - 5 x \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

解题步骤 9.3

合并项。

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解题步骤 9.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 x \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

解题步骤 9.3.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + x \frac{- 5}{x} - 5 \ln (x))$

解题步骤 9.3.3

组合 $x$ 和 $\frac{- 5}{x}$ 。

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{x \cdot - 5}{x} - 5 \ln (x))$

解题步骤 9.3.4

将 $- 5$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{- 5 \cdot x}{x} - 5 \ln (x))$

解题步骤 9.3.5

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.5.1

约去公因数。

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{- 5 x}{x} - 5 \ln (x))$

解题步骤 9.3.5.2

用 $- 5$ 除以 $1$ 。

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x))$

解题步骤 9.4

重新排序 $\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x))$ 的因式。

$(\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)) \frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

解题步骤 9.5

将 $\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)$ 乘以 $\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$ 。

$\frac{(\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

解题步骤 9.6

化简分子。

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解题步骤 9.6.1

要将 $- 5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(\frac{2}{x} - 5 \cdot \frac{x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

解题步骤 9.6.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(\frac{2}{x} + \frac{- 5 x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

解题步骤 9.6.3

在公分母上合并分子。

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

解题步骤 9.6.4

要将 $- 5 \ln (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} - 5 \ln (x) \cdot \frac{x}{x}) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

解题步骤 9.6.5

组合 $- 5 \ln (x)$ 和 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} + \frac{- 5 \ln (x) x}{x}) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

解题步骤 9.6.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 - 5 x - 5 \ln (x) x}{x} e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

解题步骤 9.7

组合 $\frac{2 - 5 x - 5 \ln (x) x}{x}$ 和 $e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}$ 。

$\frac{\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x}}{x^{2 - 5 x}}$

解题步骤 9.8

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2 - 5 x}}$

解题步骤 9.9

合并。

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x \cdot x^{2 - 5 x}}$

解题步骤 9.10

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2 - 5 x}$ 。

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解题步骤 9.10.1

将 $x$ 乘以 $x^{2 - 5 x}$ 。

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解题步骤 9.10.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{1} x^{2 - 5 x}}$

解题步骤 9.10.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{1 + 2 - 5 x}}$

解题步骤 9.10.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{3 - 5 x}}$

解题步骤 9.11

将 $(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{3 - 5 x}}$

解题步骤 9.12

将 $\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{3 - 5 x}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} (2 - 5 x - 5 x \ln (x))}{x^{3 - 5 x}}$

微积分学 示例

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