微积分学示例

$y = \ln (\arctan (5 x^{2}))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \arctan (5 x^{2})$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\arctan (5 x^{2})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

解题步骤 1.3

使用 $\arctan (5 x^{2})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = 5 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $5 x^{2}$ 。

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 2.2

$\arctan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ 。

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 2.3

使用 $5 x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {(5 x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

从 $5 x^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {(5 (x^{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 3.2

合并分数。

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解题步骤 3.2.1

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $5 (x^{2})$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 5^{2} {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 3.2.1.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 3.2.1.3

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 3.2.1.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 x^{4}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{1}{1 + 25 x^{4}}$ 乘以 $\frac{1}{\arctan (5 x^{2})}$ 。

$\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 3.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.4

组合 $5$ 和 $\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ 。

$\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} (2 x)$

解题步骤 3.6

合并分数。

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解题步骤 3.6.1

组合 $2$ 和 $\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ 。

$\frac{2 \cdot 5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} x$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{10}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} x$

解题步骤 3.6.3

组合 $\frac{10}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ 和 $x$ 。

$\frac{10 x}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{10 x}{1 \arctan (5 x^{2}) + 25 x^{4} \arctan (5 x^{2})}$

解题步骤 4.2

将 $\arctan (5 x^{2})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) + 25 x^{4} \arctan (5 x^{2})}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$\frac{10 x}{25 x^{4} \arctan (5 x^{2}) + \arctan (5 x^{2})}$

解题步骤 4.4

从 $25 x^{4} \arctan (5 x^{2}) + \arctan (5 x^{2})$ 中分解出因数 $\arctan (5 x^{2})$ 。

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解题步骤 4.4.1

从 $25 x^{4} \arctan (5 x^{2})$ 中分解出因数 $\arctan (5 x^{2})$ 。

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2})}$

解题步骤 4.4.2

乘以 $1$ 。

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2}) \cdot 1}$

解题步骤 4.4.3

从 $\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2}) \cdot 1$ 中分解出因数 $\arctan (5 x^{2})$ 。

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4} + 1)}$

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