微积分学示例

$y = \ln (\sec^{2} (x^{3})) - (\log (x^{2} + 1))$

解题步骤 1

根据加法法则， $\ln (\sec^{2} (x^{3})) - (\log (x^{2} + 1))$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\ln (\sec^{2} (x^{3}))] + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (\sec^{2} (x^{3}))] + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (\sec^{2} (x^{3}))]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sec^{2} (x^{3})$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sec^{2} (x^{3})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x^{3})] + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2.1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x^{3})] + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2.1.3

使用 $\sec^{2} (x^{3})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\sec^{2} (x^{3})} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x^{3})] + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x^{3})$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sec (x^{3})$ 。

$\frac{1}{\sec^{2} (x^{3})} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x^{3})]) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{\sec^{2} (x^{3})} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x^{3})]) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2.2.3

使用 $\sec (x^{3})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{\sec^{2} (x^{3})} (2 \sec (x^{3}) \frac{d}{d x} [\sec (x^{3})]) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{\sec^{2} (x^{3})} (2 \sec (x^{3}) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2.3.2

$\sec (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ 。

$\frac{1}{\sec^{2} (x^{3})} (2 \sec (x^{3}) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{\sec^{2} (x^{3})} (2 \sec (x^{3}) (\sec (x^{3}) \tan (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{\sec^{2} (x^{3})} (2 \sec (x^{3}) (\sec (x^{3}) \tan (x^{3}) (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2.5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x^{3})} (2 \sec (x^{3}) (\sec (x^{3}) \tan (x^{3}) (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2.6

将 $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x^{3})}$ 重写为 ${(\frac{1}{\sec (x^{3})})}^{2}$ 。

${(\frac{1}{\sec (x^{3})})}^{2} (2 \sec (x^{3}) (\sec (x^{3}) \tan (x^{3}) (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2.7

将 $\sec (x^{3})$ 重写为正弦和余弦形式。

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x^{3})}})}^{2} (2 \sec (x^{3}) (\sec (x^{3}) \tan (x^{3}) (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2.8

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (x^{3})}$ 。

${(1 \cos (x^{3}))}^{2} (2 \sec (x^{3}) (\sec (x^{3}) \tan (x^{3}) (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2.9

将 $\cos (x^{3})$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (x^{3}) (2 \sec (x^{3}) (\sec (x^{3}) \tan (x^{3}) (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2.10

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\cos^{2} (x^{3}) (6 \sec (x^{3}) (\sec (x^{3}) \tan (x^{3}) (x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2.11

对 $\sec (x^{3})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x^{3}) (6 (\sec^{1} (x^{3}) \sec (x^{3})) (\tan (x^{3}) (x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2.12

对 $\sec (x^{3})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x^{3}) (6 (\sec^{1} (x^{3}) \sec^{1} (x^{3})) (\tan (x^{3}) (x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (x^{3}) (6 {\sec (x^{3})}^{1 + 1} (\tan (x^{3}) (x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x^{3}) (6 \sec^{2} (x^{3}) (\tan (x^{3}) (x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 2.15

将 $6$ 移到 $\cos^{2} (x^{3})$ 的左侧。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- (\log (x^{2} + 1))]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \log (x^{2} + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\log (x^{2} + 1)]$ 。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - \frac{d}{d x} [\log (x^{2} + 1)]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log (x)$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{4}$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - (\frac{d}{d u_{4}} [\log (u_{4})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 3.2.2

$\log (u_{4})$ 对 $u_{4}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{4} \ln (10)}$ 。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - (\frac{1}{u_{4} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 3.2.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{4}$ 。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - (\frac{1}{(x^{2} + 1) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - (\frac{1}{(x^{2} + 1) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - (\frac{1}{(x^{2} + 1) \ln (10)} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - (\frac{1}{(x^{2} + 1) \ln (10)} (2 x + 0))$

解题步骤 3.6

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - (\frac{1}{(x^{2} + 1) \ln (10)} (2 x))$

解题步骤 3.7

组合 $2$ 和 $\frac{1}{(x^{2} + 1) \ln (10)}$ 。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - (\frac{2}{(x^{2} + 1) \ln (10)} x)$

解题步骤 3.8

组合 $\frac{2}{(x^{2} + 1) \ln (10)}$ 和 $x$ 。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \ln (10)}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + 1 \ln (10)}$

解题步骤 4.2

将 $\ln (10)$ 乘以 $1$ 。

$6 \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) x^{2} - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$6 x^{2} \cos^{2} (x^{3}) \sec^{2} (x^{3}) \tan (x^{3}) - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

解题步骤 4.4

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1

将 $\sec (x^{3})$ 重写为正弦和余弦形式。

$6 x^{2} \cos^{2} (x^{3}) {(\frac{1}{\cos (x^{3})})}^{2} \tan (x^{3}) - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

解题步骤 4.4.2

对 $\frac{1}{\cos (x^{3})}$ 运用乘积法则。

$6 x^{2} \cos^{2} (x^{3}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x^{3})} \tan (x^{3}) - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

解题步骤 4.4.3

约去 $\cos^{2} (x^{3})$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.3.1

从 $6 x^{2} \cos^{2} (x^{3})$ 中分解出因数 $\cos^{2} (x^{3})$ 。

$\cos^{2} (x^{3}) (6 x^{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x^{3})} \tan (x^{3}) - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

解题步骤 4.4.3.2

约去公因数。

$\cos^{2} (x^{3}) (6 x^{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x^{3})} \tan (x^{3}) - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

解题步骤 4.4.3.3

重写表达式。

$6 x^{2} \cdot 1^{2} \tan (x^{3}) - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

解题步骤 4.4.4

一的任意次幂都为一。

$6 x^{2} \cdot 1 \tan (x^{3}) - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

解题步骤 4.4.5

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 x^{2} \tan (x^{3}) - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

解题步骤 4.4.6

将 $\tan (x^{3})$ 重写为正弦和余弦形式。

$6 x^{2} \frac{\sin (x^{3})}{\cos (x^{3})} - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

解题步骤 4.4.7

乘以 $6 x^{2} \frac{\sin (x^{3})}{\cos (x^{3})}$ 。

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解题步骤 4.4.7.1

组合 $6$ 和 $\frac{\sin (x^{3})}{\cos (x^{3})}$ 。

$x^{2} \frac{6 \sin (x^{3})}{\cos (x^{3})} - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

解题步骤 4.4.7.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{6 \sin (x^{3})}{\cos (x^{3})}$ 。

$\frac{x^{2} (6 \sin (x^{3}))}{\cos (x^{3})} - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

解题步骤 4.4.8

将 $6$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{6 x^{2} \sin (x^{3})}{\cos (x^{3})} - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

解题步骤 4.5

化简每一项。

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解题步骤 4.5.1

分离分数。

$\frac{6 x^{2}}{1} \cdot \frac{\sin (x^{3})}{\cos (x^{3})} - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

解题步骤 4.5.2

将 $\frac{\sin (x^{3})}{\cos (x^{3})}$ 转换成 $\tan (x^{3})$ 。

$\frac{6 x^{2}}{1} \tan (x^{3}) - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

解题步骤 4.5.3

用 $6 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$6 x^{2} \tan (x^{3}) - \frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + \ln (10)}$

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