微积分学示例

$y = \ln (\cos^{2} (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos^{2} (x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\cos^{2} (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

解题步骤 2

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\sec^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 3.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\sec^{2} (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 4

将 $2$ 移到 $\sec^{2} (x)$ 的左侧。

$2 \cdot \sec^{2} (x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 5

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 \sec^{2} (x) \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sec^{2} (x) \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 7.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 7.3

一的任意次幂都为一。

$- 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 7.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{- 2}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 7.5

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{- 2}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 7.5.2

约去公因数。

$\frac{- 2}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 7.5.3

重写表达式。

$\frac{- 2}{\cos (x)} \sin (x)$

解题步骤 7.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{\cos (x)} \sin (x)$

解题步骤 7.7

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{2}{\cos (x)}$ 。

$- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$

解题步骤 7.8

将 $2$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$- \frac{2 \cdot \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7.9

分离分数。

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 7.10

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$- (\frac{2}{1} \tan (x))$

解题步骤 7.11

用 $2$ 除以 $1$ 。

$- (2 \tan (x))$

解题步骤 7.12

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \tan (x)$

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