微积分学示例

$y = \ln (| \cos (\ln (x)) |)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = | \cos (\ln (x)) |$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $| \cos (\ln (x)) |$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \cos (\ln (x)) |]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \cos (\ln (x)) |]$

解题步骤 1.3

使用 $| \cos (\ln (x)) |$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{| \cos (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [| \cos (\ln (x)) |]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = \cos (\ln (x))$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cos (\ln (x))$ 。

$\frac{1}{| \cos (\ln (x)) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))])$

解题步骤 2.2

$| u_{2} |$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ 。

$\frac{1}{| \cos (\ln (x)) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))])$

解题步骤 2.3

使用 $\cos (\ln (x))$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{| \cos (\ln (x)) |} (\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))])$

解题步骤 3

将 $\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos (\ln (x)) |}$ 乘以 $\frac{1}{| \cos (\ln (x)) |}$ 。

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos (\ln (x)) | | \cos (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

解题步骤 4

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos (\ln (x)) \cos (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

解题步骤 5

对 $\cos (\ln (x))$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{1} (\ln (x)) \cos (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

解题步骤 6

对 $\cos (\ln (x))$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{1} (\ln (x)) \cos^{1} (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (\ln (x))}{| {\cos (\ln (x))}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

解题步骤 9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 9.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\ln (x)$ 。

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 9.2

$\cos (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $- \sin (u_{3})$ 。

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 9.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |} (- \sin (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 10

组合 $\frac{\cos (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |}$ 和 $\sin (\ln (x))$ 。

$- \frac{\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 11

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$- \frac{\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 12

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))}{| \cos^{2} (\ln (x)) |}$ 。

$- \frac{\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))}{x | \cos^{2} (\ln (x)) |}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

从绝对值中去掉非负项。

$- \frac{\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))}{x \cos^{2} (\ln (x))}$

解题步骤 13.2

约去 $\cos (\ln (x))$ 和 $\cos^{2} (\ln (x))$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1

从 $\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))$ 中分解出因数 $\cos (\ln (x))$ 。

$- \frac{\cos (\ln (x)) (\sin (\ln (x)))}{x \cos^{2} (\ln (x))}$

解题步骤 13.2.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.2.1

从 $x \cos^{2} (\ln (x))$ 中分解出因数 $\cos (\ln (x))$ 。

$- \frac{\cos (\ln (x)) (\sin (\ln (x)))}{\cos (\ln (x)) (x \cos (\ln (x)))}$

解题步骤 13.2.2.2

约去公因数。

$- \frac{\cos (\ln (x)) \sin (\ln (x))}{\cos (\ln (x)) (x \cos (\ln (x)))}$

解题步骤 13.2.2.3

重写表达式。

$- \frac{\sin (\ln (x))}{x \cos (\ln (x))}$

解题步骤 13.3

分离分数。

$- (\frac{1}{x} \cdot \frac{\sin (\ln (x))}{\cos (\ln (x))})$

解题步骤 13.4

将 $\frac{\sin (\ln (x))}{\cos (\ln (x))}$ 转换成 $\tan (\ln (x))$ 。

$- (\frac{1}{x} \tan (\ln (x)))$

解题步骤 13.5

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\tan (\ln (x))$ 。

$- \frac{\tan (\ln (x))}{x}$

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