微积分学示例

$y = 7^{2 x} \log (7 x^{3} - 4 x + 5)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 7^{2 x}$ 且 $g (x) = \log (7 x^{3} - 4 x + 5)$ 。

$7^{2 x} \frac{d}{d x} [\log (7 x^{3} - 4 x + 5)] + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log (x)$ 且 $g (x) = 7 x^{3} - 4 x + 5$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $7 x^{3} - 4 x + 5$ 。

$7^{2 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x^{3} - 4 x + 5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

解题步骤 2.2

$\log (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ 。

$7^{2 x} (\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - 4 x + 5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

解题步骤 2.3

使用 $7 x^{3} - 4 x + 5$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$7^{2 x} (\frac{1}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - 4 x + 5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)}$ 和 $7^{2 x}$ 。

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - 4 x + 5] + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $7 x^{3} - 4 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

解题步骤 3.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

解题步骤 3.5

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

解题步骤 3.6

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

解题步骤 3.8

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [5]) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

解题步骤 3.9

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4 + 0) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

解题步骤 3.10

将 $21 x^{2} - 4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [7^{2 x}]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 7^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (\frac{d}{d u_{2}} [7^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $7$ 。

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (7^{u_{2}} \ln (7) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 4.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (7^{2 x} \ln (7) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (7^{2 x} \ln (7) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (7^{2 x} \ln (7) (2 \cdot 1))$

解题步骤 5.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (7^{2 x} \ln (7) \cdot 2)$

解题步骤 5.3.2

将 $2$ 移到 $7^{2 x} \ln (7)$ 的左侧。

$\frac{7^{2 x}}{(7 x^{3} - 4 x + 5) \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (2 \cdot (7^{2 x} \ln (7)))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{7^{2 x}}{7 x^{3} \ln (10) - 4 x \ln (10) + 5 \ln (10)} (21 x^{2} - 4) + \log (7 x^{3} - 4 x + 5) (2 \cdot 7^{2 x} \ln (7))$

解题步骤 6.2

重新排序项。

$(21 x^{2} - 4) \frac{7^{2 x}}{7 x^{3} \ln (10) - 4 x \ln (10) + 5 \ln (10)} + 2 \cdot 7^{2 x} \ln (7) \log (7 x^{3} - 4 x + 5)$

微积分学 示例

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