微积分学示例

$y = \frac{6 x}{3 - \cot (x)}$

解题步骤 1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{6 x}{3 - \cot (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 - \cot (x)}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 - \cot (x)}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 3 - \cot (x)$ 。

$6 \frac{(3 - \cot (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 - \cot (x)]}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \frac{(3 - \cot (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 - \cot (x)]}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $3 - \cot (x)$ 乘以 $1$ 。

$6 \frac{3 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [3 - \cot (x)]}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $3 - \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ 。

$6 \frac{3 - \cot (x) - x (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 \frac{3 - \cot (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ 相加。

$6 \frac{3 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ 。

$6 \frac{3 - \cot (x) - x (- \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.7

乘。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$6 \frac{3 - \cot (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.7.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$6 \frac{3 - \cot (x) + x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 4

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$6 \frac{3 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 5

组合 $6$ 和 $\frac{3 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$ 。

$\frac{6 (3 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{6 \cdot 3 + 6 (- \cot (x)) + 6 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{18 + 6 (- \cot (x)) + 6 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{18 - 6 \cot (x) + 6 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{18 - 6 \cot (x) + 6 (- x \csc^{2} (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.4

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{18 - 6 \cot (x) - 6 x \csc^{2} (x)}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$\frac{- 6 x \csc^{2} (x) + 18 - 6 \cot (x)}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4

从 $- 6 x \csc^{2} (x) + 18 - 6 \cot (x)$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 6.4.1

从 $- 6 x \csc^{2} (x)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (- x \csc^{2} (x)) + 18 - 6 \cot (x)}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.2

从 $18$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (- x \csc^{2} (x)) + 6 (3) - 6 \cot (x)}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.3

从 $- 6 \cot (x)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (- x \csc^{2} (x)) + 6 (3) + 6 (- \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.4

从 $6 (- x \csc^{2} (x)) + 6 (3)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (- x \csc^{2} (x) + 3) + 6 (- \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.5

从 $6 (- x \csc^{2} (x) + 3) + 6 (- \cot (x))$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (- x \csc^{2} (x) + 3 - \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.5

从 $- x \csc^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{6 (- (x \csc^{2} (x)) + 3 - \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.6

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$\frac{6 (- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 3) - \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.7

从 $- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{6 (- (x \csc^{2} (x) - 3) - \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.8

从 $- \cot (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{6 (- (x \csc^{2} (x) - 3) - (\cot (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.9

从 $- (x \csc^{2} (x) - 3) - (\cot (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{6 (- (x \csc^{2} (x) - 3 + \cot (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.10

将 $- (x \csc^{2} (x) - 3 + \cot (x))$ 重写为 $- 1 (x \csc^{2} (x) - 3 + \cot (x))$ 。

$\frac{6 (- 1 (x \csc^{2} (x) - 3 + \cot (x)))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{6 (x \csc^{2} (x) - 3 + \cot (x))}{{(3 - \cot (x))}^{2}}$

微积分学 示例

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