微积分学示例

$y = \frac{- 9 e^{5 x}}{4 x + 3}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [- \frac{9 e^{5 x}}{4 x + 3}]$

解题步骤 1.2

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{9 e^{5 x}}{4 x + 3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{e^{5 x}}{4 x + 3}]$ 。

$- 9 \frac{d}{d x} [\frac{e^{5 x}}{4 x + 3}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{5 x}$ 且 $g (x) = 4 x + 3$ 。

$- 9 \frac{(4 x + 3) \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x$ 。

$- 9 \frac{(4 x + 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 9 \frac{(4 x + 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 9 \frac{(4 x + 3) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 9 \frac{(4 x + 3) e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 9 \frac{(4 x + 3) e^{5 x} (5 \cdot 1) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$- 9 \frac{(4 x + 3) e^{5 x} \cdot 5 - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

将 $5$ 移到 $(4 x + 3) e^{5 x}$ 的左侧。

$- 9 \frac{5 \cdot ((4 x + 3) e^{5 x}) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.4

根据加法法则， $4 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.7

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (4 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (4 + 0)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.9

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.9.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} \cdot 4}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.9.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.9.3

组合 $- 9$ 和 $\frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$ 。

$\frac{- 9 (5 (4 x + 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.9.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{9 (5 (4 x + 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

运用分配律。

$- \frac{9 ((5 (4 x) + 5 \cdot 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$- \frac{9 (5 (4 x) e^{5 x} + 5 \cdot 3 e^{5 x} - 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$- \frac{9 (5 (4 x) e^{5 x}) + 9 (5 \cdot 3 e^{5 x}) + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1.1

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{9 (20 x e^{5 x}) + 9 (5 \cdot 3 e^{5 x}) + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.2

将 $20$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{180 (x e^{5 x}) + 9 (5 \cdot 3 e^{5 x}) + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{180 x e^{5 x} + 9 (15 e^{5 x}) + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.4

将 $15$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{180 x e^{5 x} + 135 e^{5 x} + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.5

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{180 x e^{5 x} + 135 e^{5 x} - 36 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4.2

从 $135 e^{5 x}$ 中减去 $36 e^{5 x}$ 。

$- \frac{180 x e^{5 x} + 99 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.5

从 $180 x e^{5 x} + 99 e^{5 x}$ 中分解出因数 $9 e^{5 x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1

从 $180 x e^{5 x}$ 中分解出因数 $9 e^{5 x}$ 。

$- \frac{9 e^{5 x} (20 x) + 99 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.5.2

从 $99 e^{5 x}$ 中分解出因数 $9 e^{5 x}$ 。

$- \frac{9 e^{5 x} (20 x) + 9 e^{5 x} (11)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.5.3

从 $9 e^{5 x} (20 x) + 9 e^{5 x} (11)$ 中分解出因数 $9 e^{5 x}$ 。

$- \frac{9 e^{5 x} (20 x + 11)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例