微积分学示例

$y = \frac{- 9 e^{3 x}}{7 x + 3}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [- \frac{9 e^{3 x}}{7 x + 3}]$

解题步骤 1.2

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{9 e^{3 x}}{7 x + 3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{e^{3 x}}{7 x + 3}]$ 。

$- 9 \frac{d}{d x} [\frac{e^{3 x}}{7 x + 3}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{3 x}$ 且 $g (x) = 7 x + 3$ 。

$- 9 \frac{(7 x + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x}] - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$- 9 \frac{(7 x + 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 9 \frac{(7 x + 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 9 \frac{(7 x + 3) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 9 \frac{(7 x + 3) e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 9 \frac{(7 x + 3) e^{3 x} (3 \cdot 1) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 9 \frac{(7 x + 3) e^{3 x} \cdot 3 - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

将 $3$ 移到 $(7 x + 3) e^{3 x}$ 的左侧。

$- 9 \frac{3 \cdot ((7 x + 3) e^{3 x}) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.4

根据加法法则， $7 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.5

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.7

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} (7 + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} (7 + 0)}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.9

合并分数。

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解题步骤 4.9.1

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - e^{3 x} \cdot 7}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.9.2

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$- 9 \frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - 7 e^{3 x}}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.9.3

组合 $- 9$ 和 $\frac{3 (7 x + 3) e^{3 x} - 7 e^{3 x}}{{(7 x + 3)}^{2}}$ 。

$\frac{- 9 (3 (7 x + 3) e^{3 x} - 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4.9.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{9 (3 (7 x + 3) e^{3 x} - 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$- \frac{9 ((3 (7 x) + 3 \cdot 3) e^{3 x} - 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$- \frac{9 (3 (7 x) e^{3 x} + 3 \cdot 3 e^{3 x} - 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$- \frac{9 (3 (7 x) e^{3 x}) + 9 (3 \cdot 3 e^{3 x}) + 9 (- 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4

化简分子。

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解题步骤 5.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.1

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{9 (21 x e^{3 x}) + 9 (3 \cdot 3 e^{3 x}) + 9 (- 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.2

将 $21$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{189 (x e^{3 x}) + 9 (3 \cdot 3 e^{3 x}) + 9 (- 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{189 x e^{3 x} + 9 (9 e^{3 x}) + 9 (- 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.4

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{189 x e^{3 x} + 81 e^{3 x} + 9 (- 7 e^{3 x})}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.5

将 $- 7$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{189 x e^{3 x} + 81 e^{3 x} - 63 e^{3 x}}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.4.2

从 $81 e^{3 x}$ 中减去 $63 e^{3 x}$ 。

$- \frac{189 x e^{3 x} + 18 e^{3 x}}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.5

从 $189 x e^{3 x} + 18 e^{3 x}$ 中分解出因数 $9 e^{3 x}$ 。

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解题步骤 5.5.1

从 $189 x e^{3 x}$ 中分解出因数 $9 e^{3 x}$ 。

$- \frac{9 e^{3 x} (21 x) + 18 e^{3 x}}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.5.2

从 $18 e^{3 x}$ 中分解出因数 $9 e^{3 x}$ 。

$- \frac{9 e^{3 x} (21 x) + 9 e^{3 x} (2)}{{(7 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.5.3

从 $9 e^{3 x} (21 x) + 9 e^{3 x} (2)$ 中分解出因数 $9 e^{3 x}$ 。

$- \frac{9 e^{3 x} (21 x + 2)}{{(7 x + 3)}^{2}}$

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