微积分学示例

$y = - 9 {(6 x^{2} + 4)}^{- 6}$

解题步骤 1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 {(6 x^{2} + 4)}^{- 6}$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [{(6 x^{2} + 4)}^{- 6}]$ 。

$- 9 \frac{d}{d x} [{(6 x^{2} + 4)}^{- 6}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 6}$ 且 $g (x) = 6 x^{2} + 4$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 x^{2} + 4$ 。

$- 9 (\frac{d}{d u} [u^{- 6}] \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 4])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 6$ 。

$- 9 (- 6 u^{- 7} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 4])$

解题步骤 2.3

使用 $6 x^{2} + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 9 (- 6 {(6 x^{2} + 4)}^{- 7} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 4])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $- 6$ 乘以 $- 9$ 。

$54 ({(6 x^{2} + 4)}^{- 7} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 4])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $6 x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$54 {(6 x^{2} + 4)}^{- 7} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 3.3

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$54 {(6 x^{2} + 4)}^{- 7} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$54 {(6 x^{2} + 4)}^{- 7} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 3.5

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$54 {(6 x^{2} + 4)}^{- 7} (12 x + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 3.6

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$54 {(6 x^{2} + 4)}^{- 7} (12 x + 0)$

解题步骤 3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.7.1

将 $12 x$ 和 $0$ 相加。

$54 {(6 x^{2} + 4)}^{- 7} (12 x)$

解题步骤 3.7.2

将 $12$ 乘以 $54$ 。

$648 {(6 x^{2} + 4)}^{- 7} x$

解题步骤 4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$648 \frac{1}{{(6 x^{2} + 4)}^{7}} x$

解题步骤 5

合并项。

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解题步骤 5.1

组合 $648$ 和 $\frac{1}{{(6 x^{2} + 4)}^{7}}$ 。

$\frac{648}{{(6 x^{2} + 4)}^{7}} x$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{648}{{(6 x^{2} + 4)}^{7}}$ 和 $x$ 。

$\frac{648 x}{{(6 x^{2} + 4)}^{7}}$

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