微积分学示例

$y = \frac{8}{x} + 3 \sec (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{8}{x} + 3 \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x}] + \frac{d}{d x} [3 \sec (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{x}] + \frac{d}{d x} [3 \sec (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{8}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 \sec (x)]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3 \sec (x)]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$8 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [3 \sec (x)]$

解题步骤 2.4

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [3 \sec (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [3 \sec (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ 。

$- 8 x^{- 2} + 3 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 3.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$- 8 x^{- 2} + 3 \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 8 \frac{1}{x^{2}} + 3 \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{- 8}{x^{2}} + 3 \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8}{x^{2}} + 3 \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$3 \sec (x) \tan (x) - \frac{8}{x^{2}}$

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