微积分学示例

$y = e^{- 0.2 x + 5}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 0.2 x + 5$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 0.2 x + 5$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 0.2 x + 5]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 0.2 x + 5]$

解题步骤 1.3

使用 $- 0.2 x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- 0.2 x + 5} \frac{d}{d x} [- 0.2 x + 5]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 0.2 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 0.2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$e^{- 0.2 x + 5} (\frac{d}{d x} [- 0.2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 2.2

因为 $- 0.2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 0.2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 0.2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{- 0.2 x + 5} (- 0.2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{- 0.2 x + 5} (- 0.2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 2.4

将 $- 0.2$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 0.2 x + 5} (- 0.2 + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 2.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{- 0.2 x + 5} (- 0.2 + 0)$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 0.2$ 和 $0$ 相加。

$e^{- 0.2 x + 5} \cdot - 0.2$

解题步骤 2.6.2

将 $- 0.2$ 移到 $e^{- 0.2 x + 5}$ 的左侧。

$- 0.2 e^{- 0.2 x + 5}$

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