微积分学示例

$y = e^{x^{2}} + x^{3}$

解题步骤 1

根据加法法则， $e^{x^{2}} + x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$e^{x^{2}} (2 x) + 3 x^{2}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$3 x^{2} + 2 e^{x^{2}} x$

解题步骤 4.2

将 $3 x^{2} + 2 e^{x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$3 x^{2} + 2 x e^{x^{2}}$

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