微积分学示例

$y = arccsc (x^{4} + 1)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = arccsc (x)$ 且 $g (x) = x^{4} + 1$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4} + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

解题步骤 1.2

$arccsc (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ 。

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{4} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{4} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (4 x^{3} + 0)$

解题步骤 2.4

合并分数。

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解题步骤 2.4.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (4 x^{3})$

解题步骤 2.4.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} x^{3}$

解题步骤 2.4.3

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$ 。

$\frac{- 4}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} x^{3}$

解题步骤 2.4.4

组合 $\frac{- 4}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{- 4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$

解题步骤 2.4.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简分母。

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解题步骤 3.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1^{2}}}$

解题步骤 3.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{4} + 1$ 和 $b = 1$ 。

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 1 + 1) (x^{4} + 1 - 1)}}$

解题步骤 3.1.3

化简。

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解题步骤 3.1.3.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) (x^{4} + 1 - 1)}}$

解题步骤 3.1.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) (x^{4} + 0)}}$

解题步骤 3.1.3.3

将 $x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) x^{4}}}$

解题步骤 3.1.4

将 $(x^{4} + 2) x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2} ({(x^{2})}^{2} + 2)$ 。

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解题步骤 3.1.4.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) {(x^{2})}^{2}}}$

解题步骤 3.1.4.2

将 $x^{4} + 2$ 和 ${(x^{2})}^{2}$ 重新排序。

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{2})}^{2} (x^{4} + 2)}}$

解题步骤 3.1.4.3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{2})}^{2} ({(x^{2})}^{2} + 2)}}$

解题步骤 3.1.5

从根式下提出各项。

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{2} \sqrt{{(x^{2})}^{2} + 2})}$

解题步骤 3.1.6

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{2} \sqrt{x^{2 \cdot 2} + 2})}$

解题步骤 3.1.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{2} \sqrt{x^{4} + 2})}$

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) x^{2} \sqrt{x^{4} + 2}}$

解题步骤 3.2

约去 $x^{3}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$- \frac{x^{2} (4 x)}{(x^{4} + 1) x^{2} \sqrt{x^{4} + 2}}$

解题步骤 3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $(x^{4} + 1) x^{2} \sqrt{x^{4} + 2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$- \frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} ((x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2})}$

解题步骤 3.2.2.2

约去公因数。

$- \frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} ((x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2})}$

解题步骤 3.2.2.3

重写表达式。

$- \frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}}$

解题步骤 3.3

将 $\frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{4} + 2}}{\sqrt{x^{4} + 2}}$ 。

$- (\frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{4} + 2}}{\sqrt{x^{4} + 2}})$

解题步骤 3.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{4} + 2}}{\sqrt{x^{4} + 2}}$ 。

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2} \sqrt{x^{4} + 2}}$

解题步骤 3.4.2

移动 $\sqrt{x^{4} + 2}$ 。

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) (\sqrt{x^{4} + 2} \sqrt{x^{4} + 2})}$

解题步骤 3.4.3

对 $\sqrt{x^{4} + 2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) ({\sqrt{x^{4} + 2}}^{1} \sqrt{x^{4} + 2})}$

解题步骤 3.4.4

对 $\sqrt{x^{4} + 2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) ({\sqrt{x^{4} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{4} + 2}}^{1})}$

解题步骤 3.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {\sqrt{x^{4} + 2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {\sqrt{x^{4} + 2}}^{2}}$

解题步骤 3.4.7

将 ${\sqrt{x^{4} + 2}}^{2}$ 重写为 $x^{4} + 2$ 。

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解题步骤 3.4.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{4} + 2}$ 重写成 ${(x^{4} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {({(x^{4} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.4.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.7.4.1

约去公因数。

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.7.4.2

重写表达式。

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{1}}$

解题步骤 3.4.7.5

化简。

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) (x^{4} + 2)}$

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