微积分学示例

$y = \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = \csc (1 - x + 3 x^{2})$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\csc (1 - x + 3 x^{2})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\csc (1 - x + 3 x^{2})]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\csc (1 - x + 3 x^{2})]$

解题步骤 1.3

使用 $\csc (1 - x + 3 x^{2})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$5 \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\csc (1 - x + 3 x^{2})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = 1 - x + 3 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 - x + 3 x^{2}$ 。

$5 \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

解题步骤 2.2

$\csc (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ 。

$5 \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

解题步骤 2.3

使用 $1 - x + 3 x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$5 \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2}) (- \csc (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

解题步骤 3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2}) (\csc (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

解题步骤 4

对 $\csc (1 - x + 3 x^{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 5 (\csc^{1} (1 - x + 3 x^{2}) \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2})) (\cot (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 5 {\csc (1 - x + 3 x^{2})}^{1 + 4} (\cot (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

解题步骤 6

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) (\cot (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

解题步骤 7

根据加法法则， $1 - x + 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

解题步骤 8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

解题步骤 9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

解题步骤 10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

解题步骤 12

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

解题步骤 13

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- 1 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- 1 + 3 (2 x))$

解题步骤 15

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- 1 + 6 x)$

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