微积分学示例

$y = \frac{9 x^{2} + 1}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 9 x^{2} + 1$ 且 $g (x) = x^{2} + 9$ 。

$\frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1] - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $9 x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{(x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(x^{2} + 9) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} + 9) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{(x^{2} + 9) (18 x + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} + 9) (18 x + 0) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $18 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} + 9) (18 x) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

将 $18$ 移到 $x^{2} + 9$ 的左侧。

$\frac{18 \cdot (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $x^{2} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.9

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.10

化简表达式。

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解题步骤 2.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 2.10.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - 2 (9 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(18 x^{2} + 18 \cdot 9) x - 2 (9 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 9 x + (- 2 (9 x^{2}) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{18 (x \cdot x^{2}) + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{18 (x^{1} x^{2}) + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{18 x^{1 + 2} + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{18 x^{3} + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $18$ 乘以 $9$ 。

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 x^{1 + 2}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 x^{3}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.4

将 $9$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 18 x^{3} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 18 x^{3} - 2 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

合并 $18 x^{3} + 162 x - 18 x^{3} - 2 x$ 中相反的项。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $18 x^{3}$ 中减去 $18 x^{3}$ 。

$\frac{162 x + 0 - 2 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $162 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{162 x - 2 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

从 $162 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{160 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

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