微积分学示例

$y = \cos^{5} (2 x^{2} - 9)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = \cos (2 x^{2} - 9)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (2 x^{2} - 9)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 9)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 9)]$

解题步骤 1.3

使用 $\cos (2 x^{2} - 9)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 9)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x^{2} - 9$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x^{2} - 9$ 。

$5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9])$

解题步骤 2.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9])$

解题步骤 2.3

使用 $2 x^{2} - 9$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) (- \sin (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) (\sin (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $2 x^{2} - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

解题步骤 3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9])$

解题步骤 3.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (4 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

解题步骤 3.6

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (4 x + 0)$

解题步骤 3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.7.1

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (4 x)$

解题步骤 3.7.2

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$- 20 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) x$

解题步骤 3.7.3

重新排序 $- 20 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) x$ 的因式。

$- 20 x \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9)$

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