微积分学示例

$y = \frac{\cos (π x)}{\sin (π x) + \cos (π x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \cos (π x)$ 且 $g (x) = \sin (π x) + \cos (π x)$ 。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) \frac{d}{d x} [\cos (π x)] - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = π x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $π x$ 。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 2.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) (π \cdot 1)) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $\sin (π x) + \cos (π x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)]$ 。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = π x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $π x$ 。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 4.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 4.3

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 5.3

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = π x$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $π x$ 。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π + \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [π x])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 6.2

$\cos (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $- \sin (u_{3})$ 。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [π x])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 6.3

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x]))}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) (π \cdot 1))}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 7.3

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{\sin (π x) (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\frac{\sin (π x) (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π) - \cos (π x) (- \sin (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

合并 $\sin (π x) (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π) - \cos (π x) (- \sin (π x) π)$ 中相反的项。

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解题步骤 8.3.1.1

从 $\cos (π x) (- \sin (π x) π)$ 中减去 $\cos (π x) (- \sin (π x) π)$ 。

$\frac{\sin (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π) + 0}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2

将 $\sin (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sin (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 8.3.2

化简每一项。

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解题步骤 8.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- π \sin (π x) \sin (π x) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 8.3.2.2

乘以 $- π \sin (π x) \sin (π x)$ 。

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解题步骤 8.3.2.2.1

对 $\sin (π x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- π (\sin^{1} (π x) \sin (π x)) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 8.3.2.2.2

对 $\sin (π x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- π (\sin^{1} (π x) \sin^{1} (π x)) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 8.3.2.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- π {\sin (π x)}^{1 + 1} - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 8.3.2.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 8.3.2.3

乘以 $- \cos (π x) (\cos (π x) π)$ 。

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解题步骤 8.3.2.3.1

对 $\cos (π x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - (\cos^{1} (π x) \cos (π x)) π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 8.3.2.3.2

对 $\cos (π x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - (\cos^{1} (π x) \cos^{1} (π x)) π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 8.3.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - {\cos (π x)}^{1 + 1} π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 8.3.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - \cos^{2} (π x) π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 8.3.3

将 $- π \sin^{2} (π x) - \cos^{2} (π x) π$ 中的因式重新排序。

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - π \cos^{2} (π x)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 8.4

从 $- π \sin^{2} (π x)$ 中分解出因数 $- π$ 。

$\frac{- π (\sin^{2} (π x)) - π \cos^{2} (π x)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 8.5

从 $- π \cos^{2} (π x)$ 中分解出因数 $- π$ 。

$\frac{- π (\sin^{2} (π x)) - π (\cos^{2} (π x))}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 8.6

从 $- π (\sin^{2} (π x)) - π (\cos^{2} (π x))$ 中分解出因数 $- π$ 。

$\frac{- π (\sin^{2} (π x) + \cos^{2} (π x))}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 8.7

使用勾股恒等式。

$\frac{- π \cdot 1}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 8.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

解题步骤 8.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

微积分学 示例

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