微积分学示例

$y = \cos^{2} (\ln (2 x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (\ln (2 x))$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (\ln (2 x))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

解题步骤 1.3

使用 $\cos (\ln (2 x))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \cos (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \ln (2 x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\ln (2 x)$ 。

$2 \cos (\ln (2 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

解题步骤 2.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$2 \cos (\ln (2 x)) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\ln (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \cos (\ln (2 x)) (- \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

解题步骤 3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \cos (\ln (2 x)) (\sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $2 x$ 。

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 4.2

$\ln (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{3}}$ 。

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 4.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{2 x}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{- 2}{2 x} \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 5.2

化简项。

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解题步骤 5.2.1

组合 $\frac{- 2}{2 x}$ 和 $\cos (\ln (2 x))$ 。

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x))}{2 x} \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{- 2 \cos (\ln (2 x))}{2 x}$ 和 $\sin (\ln (2 x))$ 。

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 5.2.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 5.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 (x)} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 5.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 5.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 5.2.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 5.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.4

合并分数。

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解题步骤 5.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.4.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x}$ 。

$\frac{- 2 (\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.4.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \cdot 1$

解题步骤 5.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $2 \cos (\ln (2 x))$ 和 $\sin (\ln (2 x))$ 重新排序。

$- \frac{\sin (\ln (2 x)) (2 \cos (\ln (2 x)))}{x}$

解题步骤 6.2

将 $\sin (\ln (2 x))$ 和 $2$ 重新排序。

$- \frac{2 \cdot \sin (\ln (2 x)) \cos (\ln (2 x))}{x}$

解题步骤 6.3

使用正弦倍角公式。

$- \frac{\sin (2 \ln (2 x))}{x}$

解题步骤 6.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (2 x)$ 。

$- \frac{\sin (\ln ({(2 x)}^{2}))}{x}$

解题步骤 6.5

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$- \frac{\sin (\ln (2^{2} x^{2}))}{x}$

解题步骤 6.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{\sin (\ln (4 x^{2}))}{x}$

微积分学 示例

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