微积分学示例

$y = - \arccos (\frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \arccos (\frac{1}{x^{3}})$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\arccos (\frac{1}{x^{3}})]$ 。

$- \frac{d}{d x} [\arccos (\frac{1}{x^{3}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arccos (x)$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$- (\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])$

解题步骤 2.2

$\arccos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 。

$- (- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{1}{x^{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])$

解题步骤 3.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 3.2.3

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

解题步骤 3.2.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 3.4

合并分数。

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解题步骤 3.4.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}}$ 。

$\frac{- 3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} x^{- 4}$

解题步骤 3.4.2

组合 $\frac{- 3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}}$ 和 $x^{- 4}$ 。

$\frac{- 3 x^{- 4}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}}$

解题步骤 3.4.3

化简表达式。

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解题步骤 3.4.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 4}$ 移动到分母。

$\frac{- 3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}} x^{4}}$

解题步骤 3.4.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}} x^{4}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

对 $\frac{1}{x^{3}}$ 运用乘积法则。

$- \frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(x^{3})}^{2}}} x^{4}}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

一的任意次幂都为一。

$- \frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(x^{3})}^{2}}} x^{4}}$

解题步骤 4.2.2

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{3 \cdot 2}}} x^{4}}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{6}}} x^{4}}$

微积分学 示例

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