微积分学示例

$y = \frac{\ln (x)}{x + 1}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{x \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{1 + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将 $\frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{x}{x} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

合并。

$\frac{x (1 + \frac{1}{x} - \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3

运用分配律。

$\frac{x \cdot 1 + x \frac{1}{x} + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.4

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

$\frac{x \cdot 1 + x \frac{1}{x} + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.4.2

重写表达式。

$\frac{x \cdot 1 + 1 + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + 1 + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$\frac{- x \ln (x) + x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5

从 $- x \ln (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \ln (x)) + x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.6

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \ln (x)) - 1 (- x) + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.7

从 $- (x \ln (x)) - 1 (- x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \ln (x) - x) + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.8

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.9

从 $- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \ln (x) - x - 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.10

将 $- (x \ln (x) - x - 1)$ 重写为 $- 1 (x \ln (x) - x - 1)$ 。

$\frac{- 1 (x \ln (x) - x - 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x \ln (x) - x - 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例