微积分学示例

$y = \frac{\log (x)}{1 + \log (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \log (x)$ 且 $g (x) = 1 + \log (x)$ 。

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{d}{d x} [\log (x)] - \log (x) \frac{d}{d x} [1 + \log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 2

$\log (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x \ln (10)}$ 。

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [1 + \log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $1 + \log (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\log (x)]$ 。

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (0 + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\log (x)]$ 相加。

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 4

$\log (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x \ln (10)}$ 。

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{1}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{x \ln (10)}$ 和 $\log (x)$ 。

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 6

要将 $(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ 。

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} \cdot \frac{x \ln (10)}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 7

组合 $(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ 和 $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ 。

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10))}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10)) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 9

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x \ln (10)}$ 。

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x \ln (10)} \ln (10) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 10

组合 $\ln (10)$ 和 $\frac{x}{x \ln (10)}$ 。

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 11

约去 $\ln (10)$ 的公因数。

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解题步骤 11.1

约去公因数。

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 11.2

重写表达式。

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 12

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 12.1

约去公因数。

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 12.2

重写表达式。

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \cdot 1 - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 13

将 $1 + \log (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{1 + \log (x) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 14

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{\frac{1 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 15

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 15.1

约去公因数。

$\frac{\frac{1 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 15.2

重写表达式。

$\frac{\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 16

将 $\frac{\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)} \cdot \frac{1}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 17

将 $\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}$ 乘以 $\frac{1}{{(1 + \log (x))}^{2}}$ 。

$\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

化简分子。

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解题步骤 18.1.1

$1$ 的对数底 $10$ 的值为 $0$ 。

$\frac{1 + 0}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 18.1.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

解题步骤 18.2

重新排序项。

$\frac{1}{x {(1 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$

解题步骤 18.3

将 $\frac{1}{x {(1 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$ 中的因式重新排序。

$\frac{1}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

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