微积分学示例

$y = \log_{3} (\sqrt[4]{2 x^{4} - 6 x})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{2 x^{4} - 6 x}$ 重写成 ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\log_{3} ({(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log_{3} (x)$ 且 $g (x) = {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{3} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 2.2

$\log_{3} (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1} \ln (3)}$ 。

$\frac{1}{u_{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 2.3

使用 ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ 且 $g (x) = 2 x^{4} - 6 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x^{4} - 6 x$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

解题步骤 3.3

使用 $2 x^{4} - 6 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{4}$ 和 ${(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{{(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

解题步骤 10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

解题步骤 11

将 $\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)}$ 。

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}} ({(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3))} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

解题步骤 12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

解题步骤 13

化简表达式。

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解题步骤 13.1

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 + 3}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

解题步骤 13.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{4}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

解题步骤 14

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 14.1

约去公因数。

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{4}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

解题步骤 14.2

重写表达式。

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

解题步骤 15

化简。

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

解题步骤 16

根据加法法则， $2 x^{4} - 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

解题步骤 17

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

解题步骤 18

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

解题步骤 19

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

解题步骤 20

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 21

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6 \cdot 1)$

解题步骤 22

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

解题步骤 23

化简。

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解题步骤 23.1

运用分配律。

$\frac{1}{(4 (2 x^{4}) + 4 (- 6 x)) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

解题步骤 23.2

运用分配律。

$\frac{1}{4 (2 x^{4}) \ln (3) + 4 (- 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

解题步骤 23.3

合并项。

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解题步骤 23.3.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) + 4 (- 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

解题步骤 23.3.2

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

解题步骤 23.4

重新排序 $\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$ 的因式。

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)}$

解题步骤 23.5

从 $8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)$ 中分解出因数 $8 x \ln (3)$ 。

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解题步骤 23.5.1

从 $8 x^{4} \ln (3)$ 中分解出因数 $8 x \ln (3)$ 。

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3}) - 24 x \ln (3)}$

解题步骤 23.5.2

从 $- 24 x \ln (3)$ 中分解出因数 $8 x \ln (3)$ 。

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3}) + 8 x \ln (3) (- 3)}$

解题步骤 23.5.3

从 $8 x \ln (3) (x^{3}) + 8 x \ln (3) (- 3)$ 中分解出因数 $8 x \ln (3)$ 。

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

解题步骤 23.6

将 $8 x^{3} - 6$ 乘以 $\frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$ 。

$\frac{8 x^{3} - 6}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

解题步骤 23.7

约去 $8 x^{3} - 6$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 23.7.1

从 $8 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 x^{3}) - 6}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

解题步骤 23.7.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 x^{3}) + 2 (- 3)}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

解题步骤 23.7.3

从 $2 (4 x^{3}) + 2 (- 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

解题步骤 23.7.4

约去公因数。

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解题步骤 23.7.4.1

从 $8 x \ln (3) (x^{3} - 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{2 (4 x \ln (3) (x^{3} - 3))}$

解题步骤 23.7.4.2

约去公因数。

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{2 (4 x \ln (3) (x^{3} - 3))}$

解题步骤 23.7.4.3

重写表达式。

$\frac{4 x^{3} - 3}{4 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

微积分学 示例

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