微积分学示例

$y = \log_{3} (x^{2} - 3 x)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log_{3} (x)$ 且 $g (x) = x^{2} - 3 x$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 3 x$ 。

$\frac{d}{d u} [\log_{3} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]$

解题步骤 1.2

$\log_{3} (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u \ln (3)}$ 。

$\frac{1}{u \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{2} - 3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x) \ln (3)} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

解题步骤 2.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x) \ln (3)} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x) \ln (3)} (2 x - 3 \cdot 1)$

解题步骤 2.5

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{(x^{2} - 3 x) \ln (3)} (2 x - 3)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{1}{x^{2} \ln (3) - 3 x \ln (3)} (2 x - 3)$

解题步骤 3.2

重新排序 $\frac{1}{x^{2} \ln (3) - 3 x \ln (3)} (2 x - 3)$ 的因式。

$(2 x - 3) \frac{1}{x^{2} \ln (3) - 3 x \ln (3)}$

解题步骤 3.3

从 $x^{2} \ln (3) - 3 x \ln (3)$ 中分解出因数 $x \ln (3)$ 。

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解题步骤 3.3.1

从 $x^{2} \ln (3)$ 中分解出因数 $x \ln (3)$ 。

$(2 x - 3) \frac{1}{x \ln (3) (x) - 3 x \ln (3)}$

解题步骤 3.3.2

从 $- 3 x \ln (3)$ 中分解出因数 $x \ln (3)$ 。

$(2 x - 3) \frac{1}{x \ln (3) (x) + x \ln (3) (- 3)}$

解题步骤 3.3.3

从 $x \ln (3) (x) + x \ln (3) (- 3)$ 中分解出因数 $x \ln (3)$ 。

$(2 x - 3) \frac{1}{x \ln (3) (x - 3)}$

解题步骤 3.4

将 $2 x - 3$ 乘以 $\frac{1}{x \ln (3) (x - 3)}$ 。

$\frac{2 x - 3}{x \ln (3) (x - 3)}$

微积分学 示例

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