微积分学示例

$y = e^{7 - (\frac{5}{x})}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 7 - \frac{5}{x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 - \frac{5}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $7 - \frac{5}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ 。

$e^{7 - \frac{5}{x}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}])$

解题步骤 2.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{7 - \frac{5}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}])$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ 相加。

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

解题步骤 2.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{5}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 2.5

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 (- x^{- 2}))$

解题步骤 2.7

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$e^{7 - \frac{5}{x}} (5 x^{- 2})$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$e^{7 - \frac{5}{x}} (5 \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.2

合并项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $5$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{5}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.2

组合 $e^{7 - \frac{5}{x}}$ 和 $\frac{5}{x^{2}}$ 。

$\frac{e^{7 - \frac{5}{x}} \cdot 5}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.3

将 $5$ 移到 $e^{7 - \frac{5}{x}}$ 的左侧。

$\frac{5 e^{7 - \frac{5}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

要将 $7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{5 e^{\frac{7 x}{x} - \frac{5}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$

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