微积分学示例

$y = e^{a x} \sin (B x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{a x}$ 且 $g (x) = \sin (B x)$ 。

$e^{a x} \frac{d}{d x} [\sin (B x)] + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = B x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $B x$ 。

$e^{a x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [B x]) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

解题步骤 2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$e^{a x} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [B x]) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

解题步骤 2.3

使用 $B x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{a x} (\cos (B x) \frac{d}{d x} [B x]) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $B$ 对于 $x$ 是常数，所以 $B x$ 对 $x$ 的导数是 $B \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{a x} (\cos (B x) (B \frac{d}{d x} [x])) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{a x} (\cos (B x) (B \cdot 1)) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

解题步骤 3.3

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = a x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $a x$ 。

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [a x])$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [a x])$

解题步骤 4.3

使用 $a x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (e^{a x} \frac{d}{d x} [a x])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a x$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (e^{a x} (a \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (e^{a x} (a \cdot 1))$

解题步骤 5.3

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (e^{a x} a)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

重新排序项。

$e^{a x} B \cos (B x) + e^{a x} a \sin (B x)$

解题步骤 6.2

将 $e^{a x} B \cos (B x) + e^{a x} a \sin (B x)$ 中的因式重新排序。

$B e^{a x} \cos (B x) + a e^{a x} \sin (B x)$

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