微积分学示例

$y = e^{k \tan (\sqrt{5 x})}$

解题步骤 1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 x}$ 重写成 ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{k \tan ({(5 x)}^{\frac{1}{2}})}]$

解题步骤 1.2

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{k \tan ({(5 (x))}^{\frac{1}{2}})}]$

解题步骤 1.3

对 $5 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2.3

使用 $k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 3

因为 $k$ 对于 $x$ 是常数，所以 $k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ 对 $x$ 的导数是 $k \frac{d}{d x} [\tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$ 。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} (k \frac{d}{d x} [\tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.3

使用 $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k (\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $5^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 10

将负号移到分数的前面。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 12

组合 $5^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14

组合 $e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$ 和 $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15

组合 $\frac{e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $k$ 。

$\frac{e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}} k}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 16

组合 $\frac{e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}} k}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ 。

$\frac{e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

将 $e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ 中的因式重新排序。

$\frac{k e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17.2

重新排序项。

$\frac{5^{\frac{1}{2}} e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17.3

将 $\frac{5^{\frac{1}{2}} e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{k \cdot 5^{\frac{1}{2}} e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

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