微积分学示例

$y = e^{5 x \sin (x)}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 5 x \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x \sin (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x \sin (x)]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [5 x \sin (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $5 x \sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{5 x \sin (x)} \frac{d}{d x} [5 x \sin (x)]$

解题步骤 2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ 。

$e^{5 x \sin (x)} (5 \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

解题步骤 2.2

将 $5$ 移到 $e^{5 x \sin (x)}$ 的左侧。

$5 \cdot e^{5 x \sin (x)} \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

解题步骤 5.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \cos (x) + \sin (x))$

解题步骤 6

运用分配律。

$5 e^{5 x \sin (x)} x \cos (x) + 5 e^{5 x \sin (x)} \sin (x)$

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