微积分学示例

$y = e^{x \sqrt{5 x - 3}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 x - 3}$ 重写成 ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用 $x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 5 x - 3$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $5 x - 3$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

使用 $5 x - 3$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

将负号移到分数的前面。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(5 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(5 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{{(5 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(5 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x - 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9.4

组合 $\frac{1}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x - 3] + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 10

根据加法法则， $5 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 11

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 13

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 14

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0) + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 15

合并分数。

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解题步骤 15.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5 + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 15.2

组合 $\frac{x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $5$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 5}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 15.3

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{5 \cdot x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{5 x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 17

将 ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{5 x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 18

要将 ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{5 x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 19

组合 ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{5 x}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 20

在公分母上合并分子。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 21

通过指数相加将 ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 21.1

移动 ${(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 21.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 21.3

在公分母上合并分子。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 21.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 21.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + {(5 x - 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22

化简表达式。

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解题步骤 22.1

化简 ${(5 x - 3)}^{1} \cdot 2$ 。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + (5 x - 3) \cdot 2}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.2

将 $2$ 移到 $5 x - 3$ 的左侧。

$e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{5 x + 2 \cdot (5 x - 3)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23

组合 $e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\frac{5 x + 2 (5 x - 3)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x + 2 (5 x - 3))}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24

化简。

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解题步骤 24.1

运用分配律。

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x + 2 (5 x) + 2 \cdot - 3)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.2

化简分子。

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解题步骤 24.2.1

化简每一项。

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解题步骤 24.2.1.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x + 10 x + 2 \cdot - 3)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x + 10 x - 6)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.2.2

将 $5 x$ 和 $10 x$ 相加。

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (15 x - 6)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.2.3

运用分配律。

$\frac{e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (15 x) + e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 6}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{15 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} x + e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 6}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.2.5

将 $- 6$ 移到 $e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 的左侧。

$\frac{15 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} x - 6 \cdot e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.2.6

将 $15 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} x - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{15 x e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.3

重新排序项。

$\frac{15 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} x - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.4

从 $15 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} x - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 24.4.1

移动 $e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{15 x e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.4.2

从 $15 x e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x) - 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.4.3

从 $- 6 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x) + 3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (- 2)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.4.4

从 $3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x) + 3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (- 2)$ 中分解出因数 $3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3 e^{x {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 x - 2)}{2 {(5 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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