微积分学示例

$y = e^{x} (\sin (x) + \cos (x))$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 。

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2

根据加法法则， $\sin (x) + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$e^{x} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{x} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + \sin (x) e^{x} + \cos (x) e^{x}$

解题步骤 6.3

合并项。

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解题步骤 6.3.1

将 $\sin (x)$ 和 $e^{x}$ 重新排序。

$e^{x} \cos (x) - 1 \cdot e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

解题步骤 6.3.2

将 $- 1 e^{x}$ 重写为 $- e^{x}$ 。

$e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

解题步骤 6.3.3

将 $- e^{x} \sin (x)$ 和 $e^{x} \sin (x)$ 相加。

$e^{x} \cos (x) + 0 + \cos (x) e^{x}$

解题步骤 6.3.4

将 $e^{x} \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$e^{x} \cos (x) + \cos (x) e^{x}$

解题步骤 6.3.5

将 $e^{x} \cos (x)$ 和 $\cos (x) e^{x}$ 相加。

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解题步骤 6.3.5.1

将 $\cos (x)$ 和 $e^{x}$ 重新排序。

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x)$

解题步骤 6.3.5.2

将 $e^{x} \cos (x)$ 和 $e^{x} \cos (x)$ 相加。

$2 e^{x} \cos (x)$

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