微积分学示例

$y = \log_{9} (e^{- x} \cos (π x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log_{9} (x)$ 且 $g (x) = e^{- x} \cos (π x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $e^{- x} \cos (π x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{9} (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

解题步骤 1.2

$\log_{9} (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1} \ln (9)}$ 。

$\frac{1}{u_{1} \ln (9)} \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

解题步骤 1.3

使用 $e^{- x} \cos (π x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{- x}$ 且 $g (x) = \cos (π x)$ 。

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = π x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $π x$ 。

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 3.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 3.3

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) (π \cdot 1)) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 4.3

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $- x$ 。

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 5.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 等于 $a^{u_{3}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 5.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

解题步骤 6.3

化简表达式。

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解题步骤 6.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} \cdot - 1))$

解题步骤 6.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

解题步骤 6.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- e^{- x}))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (e^{- x} (- \sin (π x) π)) + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

解题步骤 7.2

合并项。

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解题步骤 7.2.1

组合 $e^{- x}$ 和 $\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$ 。

$\frac{e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (- \sin (π x) π) + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

解题步骤 7.2.2

组合 $\frac{e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$ 和 $\sin (π x)$ 。

$- \frac{e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} π + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

解题步骤 7.2.3

组合 $π$ 和 $\frac{e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$ 。

$- \frac{π (e^{- x} \sin (π x))}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

解题步骤 7.2.4

约去 $e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.4.1

约去公因数。

$- \frac{π e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

解题步骤 7.2.4.2

重写表达式。

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

解题步骤 7.2.5

组合 $\cos (π x)$ 和 $\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$ 。

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} + \frac{\cos (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)} (- e^{- x})$

解题步骤 7.2.6

组合 $\frac{\cos (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$ 和 $e^{- x}$ 。

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} - \frac{\cos (π x) e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$

解题步骤 7.2.7

约去 $\cos (π x)$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.7.1

约去公因数。

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} - \frac{\cos (π x) e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (9)}$

解题步骤 7.2.7.2

重写表达式。

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} - \frac{e^{- x}}{e^{- x} \ln (9)}$

解题步骤 7.2.8

约去 $e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.8.1

约去公因数。

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} - \frac{e^{- x}}{e^{- x} \ln (9)}$

解题步骤 7.2.8.2

重写表达式。

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (9)} - \frac{1}{\ln (9)}$

解题步骤 7.3

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1

分离分数。

$- (\frac{π}{\ln (9)} \cdot \frac{\sin (π x)}{\cos (π x)}) - \frac{1}{\ln (9)}$

解题步骤 7.3.2

将 $\frac{\sin (π x)}{\cos (π x)}$ 转换成 $\tan (π x)$ 。

$- (\frac{π}{\ln (9)} \tan (π x)) - \frac{1}{\ln (9)}$

解题步骤 7.3.3

组合 $\frac{π}{\ln (9)}$ 和 $\tan (π x)$ 。

$- \frac{π \tan (π x)}{\ln (9)} - \frac{1}{\ln (9)}$

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