微积分学示例

$y = \frac{\sin (3 x)}{\tan (x)}$

解题步骤 1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]$

解题步骤 2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x) \cos (x)}{\sin (x)}]$

解题步骤 3

将 $\frac{\sin (3 x) \cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\sin (3 x) \cot (x)$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \cot (x)]$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (3 x)$ 且 $g (x) = \cot (x)$ 。

$\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

解题步骤 5

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 6.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 6.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)$

解题步骤 7.3

化简表达式。

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解题步骤 7.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) \cdot 3$

解题步骤 7.3.2

将 $3$ 移到 $\cot (x) \cos (3 x)$ 的左侧。

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + 3 \cdot (\cot (x) \cos (3 x))$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

重新排序项。

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

解题步骤 8.2

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

解题步骤 8.2.2

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

解题步骤 8.2.3

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

解题步骤 8.2.4

组合 $\sin (3 x)$ 和 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 。

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

解题步骤 8.2.5

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + 3 \cos (3 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 8.2.6

乘以 $3 \cos (3 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 8.2.6.1

组合 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 和 $3$ 。

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)} \cos (3 x)$

解题步骤 8.2.6.2

组合 $\frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)}$ 和 $\cos (3 x)$ 。

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3 \cos (3 x)}{\sin (x)}$

解题步骤 8.2.7

将 $3$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.2

分离分数。

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\sin (x)}) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.3

将 $\frac{\sin (3 x)}{\sin (x)}$ 重写为乘积形式。

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.4

将 $\sin (3 x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (3 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.5

化简。

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解题步骤 8.3.5.1

用 $\sin (3 x)$ 除以 $1$ 。

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.5.2

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \csc (x))) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.6

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$- (\csc (x) (\sin (3 x) \csc (x))) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.7

乘以 $\csc (x) (\sin (3 x) \csc (x))$ 。

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解题步骤 8.3.7.1

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\csc^{1} (x) \csc (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.7.2

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- ({\csc (x)}^{1 + 1} \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- (\csc^{2} (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.8

分离分数。

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + \frac{3 \cos (3 x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.9

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + \frac{3 \cos (3 x)}{1} \cot (x)$

解题步骤 8.3.10

用 $3 \cos (3 x)$ 除以 $1$ 。

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

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