微积分学示例

$y = \sin^{5} (\cos (3 x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = \sin (\cos (3 x))$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (\cos (3 x))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (\cos (3 x))]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (\cos (3 x))]$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (\cos (3 x))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (\cos (3 x))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (3 x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cos (3 x)$ 。

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

解题步骤 2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\cos (3 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) (\cos (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $3 x$ 。

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 3.2

$\cos (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $- \sin (u_{3})$ 。

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 3.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$5 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 4.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 5 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$- 15 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 15 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) \sin (3 x) \cdot 1$

解题步骤 4.5

将 $- 15$ 乘以 $1$ 。

$- 15 \sin^{4} (\cos (3 x)) \cos (\cos (3 x)) \sin (3 x)$

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