微积分学示例

$y = \frac{\sinh (2 x)}{\cosh (2 x) - 5}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sinh (2 x)$ 且 $g (x) = \cosh (2 x) - 5$ 。

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)] - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sinh (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) (\frac{d}{d u_{1}} [\sinh (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.2

$\sinh (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cosh (u_{1})$ 。

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) (\cosh (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) (\cosh (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) (2 \cdot 1) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) \cdot 2 - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

将 $2$ 移到 $(\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x)$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot ((\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x)) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $\cosh (2 x) - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cosh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\frac{d}{d x} [\cosh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cosh (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cosh (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2

$\cosh (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sinh (u_{2})$ 。

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\sinh (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\sinh (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\sinh (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\sinh (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\sinh (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 $2$ 移到 $\sinh (2 x)$ 的左侧。

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (2 \cdot \sinh (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 5.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (2 \sinh (2 x) + 0)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 5.5

化简表达式。

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解题步骤 5.5.1

将 $2 \sinh (2 x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (2 \sinh (2 x))}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 5.5.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - 2 \sinh (2 x) \sinh (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 6

对 $\sinh (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - 2 (\sinh^{1} (2 x) \sinh (2 x))}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 7

对 $\sinh (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - 2 (\sinh^{1} (2 x) \sinh^{1} (2 x))}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - 2 {\sinh (2 x)}^{1 + 1}}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{(2 \cosh (2 x) + 2 \cdot - 5) \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 10.2

运用分配律。

$\frac{2 \cosh (2 x) \cosh (2 x) + 2 \cdot - 5 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 10.3

化简每一项。

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解题步骤 10.3.1

乘以 $2 \cosh (2 x) \cosh (2 x)$ 。

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解题步骤 10.3.1.1

对 $\cosh (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (\cosh^{1} (2 x) \cosh (2 x)) + 2 \cdot - 5 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 10.3.1.2

对 $\cosh (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (\cosh^{1} (2 x) \cosh^{1} (2 x)) + 2 \cdot - 5 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 10.3.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 {\cosh (2 x)}^{1 + 1} + 2 \cdot - 5 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 10.3.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \cosh^{2} (2 x) + 2 \cdot - 5 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 10.3.2

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{2 \cosh^{2} (2 x) - 10 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

解题步骤 10.4

重新排序项。

$\frac{2 \cosh^{2} (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x) - 10 \cosh (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

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