微积分学示例

$y = \arcsin (\frac{3}{x^{2}})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arcsin (x)$ 且 $g (x) = \frac{3}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{3}{x^{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2

$\arcsin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{3}{x^{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

解题步骤 2.2

合并分数。

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解题步骤 2.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}}$ 。

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 2.2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 2.2.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

解题步骤 2.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} (- 2 x^{- 3})$

解题步骤 2.4

合并分数。

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解题步骤 2.4.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}}$ 。

$\frac{- 2 \cdot 3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} x^{- 3}$

解题步骤 2.4.2

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} x^{- 3}$

解题步骤 2.4.3

组合 $\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}}$ 和 $x^{- 3}$ 。

$\frac{- 6 x^{- 3}}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}}$

解题步骤 2.4.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}} x^{3}}$

解题步骤 2.4.4.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}} x^{3}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

对 $\frac{3}{x^{2}}$ 运用乘积法则。

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{3^{2}}{{(x^{2})}^{2}}} x^{3}}$

解题步骤 3.2

合并项。

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解题步骤 3.2.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{{(x^{2})}^{2}}} x^{3}}$

解题步骤 3.2.2

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{x^{2 \cdot 2}}} x^{3}}$

解题步骤 3.2.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{x^{4}}} x^{3}}$

微积分学 示例

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