微积分学示例

$y = \sqrt{e^{x} + 4}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{e^{x} + 4}$ 重写成 ${(e^{x} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(e^{x} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = e^{x} + 4$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $e^{x} + 4$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

解题步骤 2.3

使用 $e^{x} + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

解题步骤 7

使用求加法法则求导。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

解题步骤 7.2

合并分数。

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解题步骤 7.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(e^{x} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(e^{x} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

解题步骤 7.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(e^{x} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

解题步骤 7.3

根据加法法则， $e^{x} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 8

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 9

使用常数法则求导。

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解题步骤 9.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + 0)$

解题步骤 9.2

合并分数。

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解题步骤 9.2.1

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 4)}^{\frac{1}{2}}} e^{x}$

解题步骤 9.2.2

组合 $\frac{1}{2 {(e^{x} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x}}{2 {(e^{x} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

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