微积分学示例

$y = \arctan (\ln (4 x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = \ln (4 x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\ln (4 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$

解题步骤 1.2

$\arctan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\ln (4 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (4 x)} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x$ 。

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (4 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (4 x)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 2.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (4 x)} (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{4 x}$ 乘以 $\frac{1}{1 + \ln^{2} (4 x)}$ 。

$\frac{1}{4 x (1 + \ln^{2} (4 x))} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{4 x (1 + \ln^{2} (4 x))} (4 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

化简项。

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解题步骤 3.3.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4 x (1 + \ln^{2} (4 x))}$ 。

$\frac{4}{4 x (1 + \ln^{2} (4 x))} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

约去公因数。

$\frac{4}{4 x (1 + \ln^{2} (4 x))} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (4 x))} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (4 x))} \cdot 1$

解题步骤 3.5

将 $\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (4 x))}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (4 x))}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{1}{x \cdot 1 + x \ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x + x \ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$\frac{1}{x \ln^{2} (4 x) + x}$

解题步骤 4.4

从 $x \ln^{2} (4 x) + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1

从 $x \ln^{2} (4 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x (\ln^{2} (4 x)) + x}$

解题步骤 4.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x (\ln^{2} (4 x)) + x^{1}}$

解题步骤 4.4.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x (\ln^{2} (4 x)) + x \cdot 1}$

解题步骤 4.4.4

从 $x (\ln^{2} (4 x)) + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x (\ln^{2} (4 x) + 1)}$

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