微积分学示例

$y = \frac{\tan (x)}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{\tan (x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

解题步骤 4

化简。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 5

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

解题步骤 10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

解题步骤 11

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

解题步骤 13

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $\tan (x)$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \tan (x)}{2}}{x}$

解题步骤 14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) - \frac{\tan (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

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