微积分学示例

$y = \sqrt{\frac{x}{x + 3}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{x}{x + 3}}$ 重写成 ${(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \frac{x}{x + 3}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{x + 3}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{x}{x + 3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

解题步骤 8

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 9

求微分。

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解题步骤 9.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 9.2

将 $x + 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 9.3

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 9.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 9.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 9.6

化简项。

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解题步骤 9.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 9.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 3 - x}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 9.6.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 3}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 9.6.4

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 9.6.5

将 $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{{(x + 3)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.6.6

将 $2$ 移到 ${(x + 3)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{3}{2 \cdot {(x + 3)}^{2}} {(\frac{x}{x + 3})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{2}} {(\frac{x + 3}{x})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 10.2

对 $\frac{x + 3}{x}$ 运用乘积法则。

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.3

合并项。

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解题步骤 10.3.1

将 $\frac{3}{2 {(x + 3)}^{2}}$ 乘以 $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.3.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{2} x^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.3.3

通过指数相加将 ${(x + 3)}^{2}$ 乘以 ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 10.3.3.1

移动 ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3}{2 ({(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 3)}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.3.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{2} + 2} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.3.3.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.3.3.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.3.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.3.3.6

化简分子。

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解题步骤 10.3.3.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.3.3.6.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{3}{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4

重新排序项。

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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