微积分学示例

$y = \sqrt{\frac{x}{a}} + \sqrt{\frac{a}{x}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\sqrt{\frac{x}{a}} + \sqrt{\frac{a}{x}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x}{a}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x}{a}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x}{a}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{x}{a}}$ 重写成 ${(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \frac{x}{a}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{x}{a}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

解题步骤 2.2.3

使用 $\frac{x}{a}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

解题步骤 2.3

因为 $\frac{1}{a}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{a}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

解题步骤 2.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

解题步骤 2.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

解题步骤 2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

解题步骤 2.8

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1 - 2}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

解题步骤 2.8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{- 1}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

解题步骤 2.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

解题步骤 2.10

将 $\frac{1}{a}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{a} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

解题步骤 2.11

将 $\frac{1}{a}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{a \cdot 2} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

解题步骤 2.12

将 $2$ 移到 $a$ 的左侧。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{a}{x}}$ 重写成 ${(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \frac{a}{x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{a}{x}$ 。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

解题步骤 3.2.3

使用 $\frac{a}{x}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

解题步骤 3.3

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{a}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 3.4

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (a \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (a (- x^{- 2}))$

解题步骤 3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (a (- x^{- 2}))$

解题步骤 3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (a (- x^{- 2}))$

解题步骤 3.8

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (a (- x^{- 2}))$

解题步骤 3.9

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} (a (- x^{- 2}))$

解题步骤 3.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{- 1}{2}} (a (- x^{- 2}))$

解题步骤 3.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (a (- x^{- 2}))$

解题步骤 3.11

组合 $a$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{a}{2} {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- x^{- 2})$

解题步骤 3.12

组合 $\frac{a}{2}$ 和 $x^{- 2}$ 。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{a x^{- 2}}{2})$

解题步骤 3.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2}} + {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

解题步骤 4.2

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2}} + {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

解题步骤 4.3

对 $\frac{a}{x}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{2 a} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

解题步骤 4.4

对 $\frac{x}{a}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{2 a} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

解题步骤 4.5

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.1

将 $\frac{1}{2 a}$ 乘以 $\frac{a^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 a x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

解题步骤 4.5.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $a^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 a x^{\frac{1}{2}} a^{- \frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

解题步骤 4.5.3

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.3.1

移动 $a^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2 (a^{- \frac{1}{2}} a) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

解题步骤 4.5.3.2

将 $a^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $a$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.3.2.1

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2 (a^{- \frac{1}{2}} a^{1}) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

解题步骤 4.5.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2 a^{- \frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

解题步骤 4.5.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2 a^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

解题步骤 4.5.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2 a^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

解题步骤 4.5.3.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

解题步骤 4.5.4

将 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{a}{2 x^{2}}$ 。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}} a}{a^{\frac{1}{2}} (2 x^{2})}$

解题步骤 4.5.5

将 $2$ 移到 $a^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}} a}{2 \cdot a^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.5.6

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.5.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.7.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}$

解题步骤 4.5.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + 2}}$

解题步骤 4.5.7.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.5.7.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 4.5.7.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 4.5.7.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.7.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

解题步骤 4.5.7.6.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.5.8

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $a^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a \cdot a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.5.9

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.9.1

将 $a$ 乘以 $a^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.9.1.1

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{1} a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.5.9.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.5.9.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.5.9.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.5.9.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

微积分学示例