微积分学示例

$y = - x^{3} (3 x^{4} - 2)$

解题步骤 1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3} (3 x^{4} - 2)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3} (3 x^{4} - 2)]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{3} (3 x^{4} - 2)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 3 x^{4} - 2$ 。

$- (x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2] + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x^{4} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$- (x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- (x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- (x^{3} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$- (x^{3} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- (x^{3} (12 x^{3} + 0) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.6

将 $12 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$- (x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1

移动 $x^{3}$ 。

$- (x^{3} x^{3} \cdot 12 + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (x^{3 + 3} \cdot 12 + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$- (x^{6} \cdot 12 + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 5

将 $12$ 移到 $x^{6}$ 的左侧。

$- (12 \cdot x^{6} + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- (12 x^{6} + (3 x^{4} - 2) (3 x^{2}))$

解题步骤 7

将 $3$ 移到 $3 x^{4} - 2$ 的左侧。

$- (12 x^{6} + 3 \cdot (3 x^{4} - 2) x^{2})$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$- (12 x^{6} + (3 (3 x^{4}) + 3 \cdot - 2) x^{2})$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$- (12 x^{6} + 3 (3 x^{4}) x^{2} + 3 \cdot - 2 x^{2})$

解题步骤 8.3

运用分配律。

$- (12 x^{6}) - (3 (3 x^{4}) x^{2}) - (3 \cdot - 2 x^{2})$

解题步骤 8.4

合并项。

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解题步骤 8.4.1

将 $12$ 乘以 $- 1$ 。

$- 12 x^{6} - (3 (3 x^{4}) x^{2}) - (3 \cdot - 2 x^{2})$

解题步骤 8.4.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- 12 x^{6} - (9 x^{4} x^{2}) - (3 \cdot - 2 x^{2})$

解题步骤 8.4.3

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 8.4.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$- 12 x^{6} - (9 (x^{2} x^{4})) - (3 \cdot - 2 x^{2})$

解题步骤 8.4.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 12 x^{6} - (9 x^{2 + 4}) - (3 \cdot - 2 x^{2})$

解题步骤 8.4.3.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$- 12 x^{6} - (9 x^{6}) - (3 \cdot - 2 x^{2})$

解题步骤 8.4.4

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} - (3 \cdot - 2 x^{2})$

解题步骤 8.4.5

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} - (- 6 x^{2})$

解题步骤 8.4.6

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} + 6 x^{2}$

解题步骤 8.4.7

从 $- 12 x^{6}$ 中减去 $9 x^{6}$ 。

$- 21 x^{6} + 6 x^{2}$

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