微积分学示例

$y = x^{3} - \frac{x^{2}}{28} + 16 x + 2$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{3} - \frac{x^{2}}{28} + 16 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- \frac{1}{28}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x^{2}}{28}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{28} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - \frac{1}{28} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - \frac{1}{28} (2 x) + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x^{2} - 2 (\frac{1}{28}) x + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{28}$ 。

$3 x^{2} + \frac{- 2}{28} x + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.5

组合 $\frac{- 2}{28}$ 和 $x$ 。

$3 x^{2} + \frac{- 2 x}{28} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.6

约去 $- 2$ 和 $28$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 x^{2} + \frac{2 (- x)}{28} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.2.1

从 $28$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 (14)} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.6.2.2

约去公因数。

$3 x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 14} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.6.2.3

重写表达式。

$3 x^{2} + \frac{- x}{14} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.7

将负号移到分数的前面。

$3 x^{2} - \frac{x}{14} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [16 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - \frac{x}{14} + 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - \frac{x}{14} + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3.3

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - \frac{x}{14} + 16 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - \frac{x}{14} + 16 + 0$

解题步骤 4.2

将 $3 x^{2} - \frac{x}{14} + 16$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} - \frac{x}{14} + 16$

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