微积分学示例

$y = x^{2} + x^{4} e^{- 2 \ln (x)}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{2} + x^{4} e^{- 2 \ln (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = e^{- 2 \ln (x)}$ 。

$2 x + x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 \ln (x)}] + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 2 \ln (x)$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 2 \ln (x)$ 。

$2 x + x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 x + x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.2.3

使用 $- 2 \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)])) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{1}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{1}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

解题步骤 2.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} \frac{- 2}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

解题步骤 2.7

将负号移到分数的前面。

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- \frac{2}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

解题步骤 2.8

组合 $e^{- 2 \ln (x)}$ 和 $\frac{2}{x}$ 。

$2 x + x^{4} (- \frac{e^{- 2 \ln (x)} \cdot 2}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

解题步骤 2.9

将 $2$ 移到 $e^{- 2 \ln (x)}$ 的左侧。

$2 x + x^{4} (- \frac{2 \cdot e^{- 2 \ln (x)}}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

解题步骤 2.10

组合 $x^{4}$ 和 $\frac{2 e^{- 2 \ln (x)}}{x}$ 。

$2 x - \frac{x^{4} (2 e^{- 2 \ln (x)})}{x} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

解题步骤 2.11

约去 $x^{4}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.11.1

从 $x^{4} (2 e^{- 2 \ln (x)})$ 中分解出因数 $x$ 。

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

解题步骤 2.11.2

约去公因数。

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解题步骤 2.11.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x^{1}} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

解题步骤 2.11.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

解题步骤 2.11.2.3

约去公因数。

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

解题步骤 2.11.2.4

重写表达式。

$2 x - \frac{x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})}{1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

解题步骤 2.11.2.5

用 $x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})$ 除以 $1$ 。

$2 x - (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

解题步骤 2.12

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x - 2 (x^{3} (e^{- 2 \ln (x)})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

解题步骤 2.13

将 $- 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ 和 $e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$ 相加。

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解题步骤 2.13.1

移动 $e^{- 2 \ln (x)}$ 。

$2 x - 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)} + 4 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$

解题步骤 2.13.2

将 $- 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ 和 $4 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ 相加。

$2 x + 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

重新排序项。

$2 e^{- 2 \ln (x)} x^{3} + 2 x$

解题步骤 3.2

将 $2 e^{- 2 \ln (x)} x^{3} + 2 x$ 中的因式重新排序。

$2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)} + 2 x$

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