微积分学示例

y = \frac{x sin (x)}{1 + cos (x)}

$y = \frac{x \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中

f (x) = x sin (x)

$f (x) = x \sin (x)$ 且

g (x) = 1 + cos (x)

$g (x) = 1 + \cos (x)$ 。

\frac{(1 + cos (x)) \frac{d}{d x} [x sin (x)] - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中

f (x) = x

$f (x) = x$ 且

g (x) = sin (x)

$g (x) = \sin (x)$ 。

\frac{(1 + cos (x)) (x \frac{d}{d x} [sin (x)] + sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3

sin (x)

$\sin (x)$ 对

x

$x$ 的导数为

cos (x)

$\cos (x)$ 。

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x) \cdot 1) - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 4.2

将

sin (x)

$\sin (x)$ 乘以

1

$1$ 。

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 4.3

根据加法法则，

1 + cos (x)

$1 + \cos (x)$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [cos (x)]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) - x sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [cos (x)])}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 4.4

因为

1

$1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

1

$1$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) - x sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [cos (x)])}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 4.5

将

0

$0$ 和

\frac{d}{d x} [cos (x)]

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 相加。

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) - x sin (x) \frac{d}{d x} [cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) - x sin (x) \frac{d}{d x} [cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5

cos (x)

$\cos (x)$ 对

x

$x$ 的导数为

- sin (x)

$- \sin (x)$ 。

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) - x sin (x) (- sin (x))}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6

乘。

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解题步骤 6.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) + 1 x sin (x) sin (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2

将

x

$x$ 乘以

1

$1$ 。

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) + x sin (x) sin (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) + x sin (x) sin (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7

对

sin (x)

$\sin (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) + x ({sin}^{1} (x) sin (x))}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 8

对

sin (x)

$\sin (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) + x ({sin}^{1} (x) {sin}^{1} (x))}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) + x {sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 10

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) + x {sin}^{2} (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1.1

使用 FOIL 方法展开

(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x))

$(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ 。

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解题步骤 11.1.1.1.1

运用分配律。

\frac{1 (x cos (x) + sin (x)) + cos (x) (x cos (x) + sin (x)) + x {sin}^{2} (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{1 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.1.1.1.2

运用分配律。

\frac{1 (x cos (x)) + 1 sin (x) + cos (x) (x cos (x) + sin (x)) + x {sin}^{2} (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.1.1.1.3

运用分配律。

\frac{1 (x cos (x)) + 1 sin (x) + cos (x) (x cos (x)) + cos (x) sin (x) + x {sin}^{2} (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

\frac{1 (x cos (x)) + 1 sin (x) + cos (x) (x cos (x)) + cos (x) sin (x) + x {sin}^{2} (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.1.1.2

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1.2.1

将

x cos (x)

$x \cos (x)$ 乘以

1

$1$ 。

\frac{x cos (x) + 1 sin (x) + cos (x) (x cos (x)) + cos (x) sin (x) + x {sin}^{2} (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{x \cos (x) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.1.1.2.2

将

sin (x)

$\sin (x)$ 乘以

1

$1$ 。

\frac{x cos (x) + sin (x) + cos (x) (x cos (x)) + cos (x) sin (x) + x {sin}^{2} (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.1.1.2.3

乘以

cos (x) (x cos (x))

$\cos (x) (x \cos (x))$ 。

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解题步骤 11.1.1.2.3.1

对

cos (x)

$\cos (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{x cos (x) + sin (x) + x ({cos}^{1} (x) cos (x)) + cos (x) sin (x) + x {sin}^{2} (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.1.1.2.3.2

对

cos (x)

$\cos (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{x cos (x) + sin (x) + x ({cos}^{1} (x) {cos}^{1} (x)) + cos (x) sin (x) + x {sin}^{2} (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.1.1.2.3.3

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

\frac{x cos (x) + sin (x) + x {cos (x)}^{1 + 1} + cos (x) sin (x) + x {sin}^{2} (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.1.1.2.3.4

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

\frac{x cos (x) + sin (x) + x {cos}^{2} (x) + cos (x) sin (x) + x {sin}^{2} (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

\frac{x cos (x) + sin (x) + x {cos}^{2} (x) + cos (x) sin (x) + x {sin}^{2} (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

\frac{x cos (x) + sin (x) + x {cos}^{2} (x) + cos (x) sin (x) + x {sin}^{2} (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

\frac{x cos (x) + sin (x) + x {cos}^{2} (x) + cos (x) sin (x) + x {sin}^{2} (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.1.2

移动

x {sin}^{2} (x)

$x \sin^{2} (x)$ 。

\frac{x cos (x) + sin (x) + x {cos}^{2} (x) + x {sin}^{2} (x) + cos (x) sin (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.1.3

从

x {cos}^{2} (x)

$x \cos^{2} (x)$ 中分解出因数

x

$x$ 。

\frac{x cos (x) + sin (x) + x ({cos}^{2} (x)) + x {sin}^{2} (x) + cos (x) sin (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.1.4

从

x {sin}^{2} (x)

$x \sin^{2} (x)$ 中分解出因数

x

$x$ 。

\frac{x cos (x) + sin (x) + x ({cos}^{2} (x)) + x ({sin}^{2} (x)) + cos (x) sin (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.1.5

从

x ({cos}^{2} (x)) + x ({sin}^{2} (x))

$x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x))$ 中分解出因数

x

$x$ 。

\frac{x cos (x) + sin (x) + x ({cos}^{2} (x) + {sin}^{2} (x)) + cos (x) sin (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.1.6

重新整理项。

\frac{x cos (x) + sin (x) + x ({sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x)) + cos (x) sin (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.1.7

使用勾股恒等式。

\frac{x cos (x) + sin (x) + x \cdot 1 + cos (x) sin (x)}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.1.8

将

$x$ 乘以

$1$ 。

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.2

重新排序项。

$\frac{x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.3

化简分子。

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解题步骤 11.3.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 11.3.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.3.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{\cos (x) (x + \sin (x)) + 1 (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.3.2

通过因式分解出最大公因数

$x + \sin (x)$ 来因式分解多项式。

$\frac{(x + \sin (x)) (\cos (x) + 1)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.4

约去

$\cos (x) + 1$ 和

${(1 + \cos (x))}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.1

重新排序项。

$\frac{(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.4.2

从

$(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))$ 中分解出因数

$1 + \cos (x)$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 11.4.3

约去公因数。

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解题步骤 11.4.3.1

从

${(1 + \cos (x))}^{2}$ 中分解出因数

$1 + \cos (x)$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 11.4.3.2

约去公因数。

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 11.4.3.3

重写表达式。

$\frac{x + \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

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