微积分学示例

$y = - x^{5} + 10 x^{3} - 4 x^{2} - 25 x + 20$

解题步骤 1

根据加法法则， $- x^{5} + 10 x^{3} - 4 x^{2} - 25 x + 20$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25 x] + \frac{d}{d x} [20]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25 x] + \frac{d}{d x} [20]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25 x] + \frac{d}{d x} [20]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25 x] + \frac{d}{d x} [20]$

解题步骤 2.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25 x] + \frac{d}{d x} [20]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 5 x^{4} + 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25 x] + \frac{d}{d x} [20]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 5 x^{4} + 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25 x] + \frac{d}{d x} [20]$

解题步骤 3.3

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$- 5 x^{4} + 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25 x] + \frac{d}{d x} [20]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 5 x^{4} + 30 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25 x] + \frac{d}{d x} [20]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 5 x^{4} + 30 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 25 x] + \frac{d}{d x} [20]$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$- 5 x^{4} + 30 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [- 25 x] + \frac{d}{d x} [20]$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [- 25 x]$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $- 25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 25 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 25 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 5 x^{4} + 30 x^{2} - 8 x - 25 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 5 x^{4} + 30 x^{2} - 8 x - 25 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

解题步骤 5.3

将 $- 25$ 乘以 $1$ 。

$- 5 x^{4} + 30 x^{2} - 8 x - 25 + \frac{d}{d x} [20]$

解题步骤 6

使用常数法则求导。

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解题步骤 6.1

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 5 x^{4} + 30 x^{2} - 8 x - 25 + 0$

解题步骤 6.2

将 $- 5 x^{4} + 30 x^{2} - 8 x - 25$ 和 $0$ 相加。

$- 5 x^{4} + 30 x^{2} - 8 x - 25$

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