微积分学示例

$y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 8 e^{x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 8 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 3.5

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 8 e^{x}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x}) - 2 e^{x} + 8 e^{x}$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

从 $e^{x} (2 x)$ 中减去 $2 x e^{x}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

移动 $e^{x}$ 。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x} + 8 e^{x}$

解题步骤 5.2.1.2

从 $2 x e^{x}$ 中减去 $2 x e^{x}$ 。

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x} + 8 e^{x}$

解题步骤 5.2.2

将 $x^{2} e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} + 8 e^{x}$

解题步骤 5.2.3

将 $- 2 e^{x}$ 和 $8 e^{x}$ 相加。

$x^{2} e^{x} + 6 e^{x}$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$e^{x} x^{2} + 6 e^{x}$

解题步骤 5.4

将 $e^{x} x^{2} + 6 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$x^{2} e^{x} + 6 e^{x}$

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